El sumatorio de Ramanujan

Bienvenid@ de nuevo al Péndulo de Newton!! En esta entrada hablaremos sobre las sumas infinitas. En particular, lo haremos sobre una de las sumas más importantes del mundo, por qué el resultado no es único y cómo nos manejamos los matemáticos con el concepto del infinito.

El protagonista de hoy es nuestro queridísimo Srinivasa Ramanujan, uno de los matemáticos más brillantes que hayan existido. 

Ramanujan nació en la India a finales del siglo XIX, en el seno de una familia humilde. La única educación que recibió antes de ser un matemático reconocido fue la que se le dio en la escuela local. Por ello, se le considera un matemático autodidacta que con tan solo trece años ya leía y comprendía completamente varios libros sobre trigonometría avanzada. 

A medida que fue creciendo su interés por las matemáticas no se estancó, y comenzó a mantener correspondencia con grandes matemáticos de Bombay, e incluso con el fundador de la Sociedad Matemática de la India. Un tiempo después, cuando consiguió la financiación suficiente y la confianza de sus relativos, pudo publicar algunos de sus trabajos en la revista Diario de la Sociedad Matemática de la India.

Ya en su adultez y gracias a sus contactos con algunos matemáticos británicos, consiguió una beca de investigador en la Universidad de Madrás, en la India, y más tarde pudo trasladarse finalmente a Cambridge, donde trabajó codo con codo con Hardy y Littlewood. Allí se graduó y logró convertirse en lo que hoy llamamos Doctor (PhD).

Con tan solo 32 años, Ramanujan murió de una supuesta tuberculosis (aunque se cree que en realidad fue debido a una afección hepática) en su país natal. 

Retrato de Ramanujan. Fuente: The Hindu Business Line.

Las sumas infinitas

Después de conocer un poco más sobre la vida de Ramanujan, hablemos de las sumas infinitas.

Las series es lo que formalmente conocemos en matemáticas como la suma de infinitos términos de una sucesión de números dada. A diferencia de las sumas finitas que conocemos, tratar con el concepto de serie no es nada trivial y requiere de herramientas de análisis matemático para tratar con ellas. De hecho, en la mayoría de los casos, no solemos buscar una "solución" a esa suma, sino que nos basta con saber si la suma es finita o no. Por este motivo no podemos tratar las series como sumas "normales" pues las técnicas tradicionales no funcionan ya que no solo hay que tener en cuenta los resultados que obtenemos, también se trata de darle sentido a esos resultados y ver si de verdad pueden darse.

El hecho de que una suma infinita "exista" es lo que denominamos la convergencia de una serie, y esto es lo que precisamente falla en la Suma de Ramanujan.

Obtención del valor de la suma de todos los números naturales

El conjunto de los números naturales es{1,2,3,...}, que podemos identificar con la sucesión cuyo término general es n. Así, queremos calcular la suma de 1+2+3+4+5+...=S

Para ello, descompondremos S en otras sumas que de primeras sí podemos manipular. 

 

En primer lugar consideramos la serie de Grandi, que viene dada por la suma infinita

 

A=1-1+1-1+1-1+1-1...

A priori puede parecer que esta suma es cero porque podemos ir cancelando un término con el siguiente, pero hagamos algo distinto. Vamos a ver cuánto vale 1-A:

1-A= 1-(1-1+1-1+1-1+1-1...) = 1-1+1-1+1-1+1-1...=A

Es decir, volvemos a obtener A y esto se debe a que precisamente estamos trabajando con infinitos términos. Ya solo basta despejar A de la ecuación 1-A=A y ver que A=1/2. 

Tomemos ahora otra suma cuyo resultado llamaremos B y es la siguiente:

B=1-2+3-4+5-6+7-....

Hagamos ahora A-B. Obtenemos lo siguiente:

A-B=(1-1+1-1+1-1+1-1...)-(1-2+3-4+5-6+7-....)

Ahora agruparemos un término de A su homólogo en B, de esta forma:

A-B=(1-1)+(-1+2)+(1-3)+(-1+4)+(1-5)+....= 0+1-2+3-4+5-6+...=B

De nuevo, igual que anteriormente, solo tenemos que despejar B teniendo en cuenta que A=1/2:

A=2B ; B=A/2=1/4

Y así vemos que el valor de B es 1/4. A partir de aquí ya estamos en condiciones de hallar el valor de la suma de todos los números naturales. Partimos del valor de S:

S=1+2+3+4+5+6+...

Ahora, veamos qué ocurre si hacemos B-S y agrupando de nuevo término a término:

B-S=(1-2+3-4+5-6+...)-(1+2+3+4+5+6)=-4-8-12-16-20-...

Que son todos múltiplos de -4 por lo que podemos sacar este factor y común y nos queda que:

B-S=-4(1+2+3+4+5+...)=-4S

Llegados a este punto ya solo basta despejar S para obtener el valor esperado:

B=-3S ;  S=-B/3=-1/12 

Explicación 

Está claro que una suma infinita de términos positivos no va a valer un número fraccionario además de negativo. Hay dos errores fundamentales a considerar en el razonamiento anterior:

• Asociatividad: Agrupar unos términos con otros es lo que conocemos como la propiedad asociativa de la suma. El error está en considerar que esta propiedad también se da para sumas infinitas, pues ya hemos visto que no es así. Es decir, no podemos emplear las propiedades usuales de la suma (finita) porque con términos infinitos no se cumple. Un resultado interesante que muestra lo fundamental que es agrupar términos de una forma u otra es el Teorema de Reordenación de Riemann
• Supuesta convergencia: Suponer que una suma infinita tiene un valor concreto es la raíz de el error. Las series no tienen por qué tener un valor finito, de hecho esta serie no lo tiene (es divergente) por lo que el juego de denominar a A,B y S a distintas sumas ya es en sí una contradicción porque A,B y S no existen. 

Con este ejemplo vemos que tratar con el infinito no es una tarea fácil en matemáticas ya que se han de tratar las series infinitas con técnicas delicadas que no supongan contradicciones en las conclusiones que se obtienen y, por supuesto, se tenga en cuenta la naturaleza de dicha serie.

Espero que te haya gustado esta entrada 😊  Gracias de nuevo por leerme!!