La Hipótesis de Riemann 🔢
Bienvenidos de nuevo a una nueva entrada! Hoy exploraremos uno de los grandes enigmas de la matemática moderna: la archiconocida Hipótesis de Riemann. Aunque muchos habréis escuchado hablar de ella, lo cierto que es que para entenderla hay que adentrarse en el misterioso mundo del análisis complejo, una rama de las matemáticas a veces olvidada pero que es esencial para el desarrollo de la misma. El análisis complejo constituye el punto de encuentro entre la topología y la geometría con el análisis tal y como lo conocemos pues nos muestra que no podemos entender el mundo de los números complejos sin los conceptos básicos sobre los que se fundamenta la topología. A lo largo de esta entrada veremos qué es la Función Zeta de Riemann, cuales son sus propiedades y por qué tiene tanto que ver con los números primos.
La función Zeta de Riemann
Su expresión es:
Fuente: Julio Mulero (Twitter)
Esta expresión está definida para aquellos números complejos s tal que su parte imaginaria es estrictamente mayor que uno (recordemos que un número complejo es de la forma s = x+iy con x, y número reales donde i es la unidad imaginaria). Esto es así porque en cualquier otro caso la serie no convergería y no podríamos operar con ella. Desde el punto de vista complejo, la función Zeta es holomorfa (continua y derivable en el sentido complejo) en su dominio de definición.
A primera vista no parece una función demasiado reseñable. De hecho, tal cual la hemos definido esta función ni siquiera se anula. Pero como siempre en matemáticas buscamos generalizar y extender lo que ya sabemos más allá, existe una extensión al resto del plano complejo dada por lo que se conoce como la ecuación funcional de Riemann, que se escribe del siguiente modo:
Fuente: MathArg Papers (Youtube)
Como ves, esta ecuación involucra a la función Gamma de Euler, otra de las grandes protagonistas del análisis. La demostración de esta igualdad, que omitimos en esta entrada, se basa en la integración a lo largo de ciertos caminos y el cálculo de residuos.
Así, con la anterior expresión tenemos extendida la función Zeta de Riemann a todo el plano complejo, la cual podemos ver representada en esta imagen:
Fuente: Research Gate
Este modo de representar las funciones complejas resulta muy útil pues nos permite saber cómo varía la función en cada punto ya que el color se emplea para indicar el argumento del valor de la función en dicho punto. Recordemos además que si en un punto confluyen todos los colores en sentido antihorario, tenemos un cero de la función. Así, en la imagen, podemos ver un eje horizontal en la parte inferior que contiene todos los ceros triviales, es decir, los ceros obtenidos por las funciones auxiliares que conforman la ecuación funcional de Riemann. Dichos ceros son los enteros negativos pares. Sin embargo, no son estos valores en los que estamos interesados, sino en los otros ceros que se pueden observar en el dibujo.
Ceros no triviales y la Hipótesis de Riemann
La función Zeta de Riemann no solo se anula donde hemos visto anteriormente, sino que se ha demostrado que los otros ceros de la función (lo que llamamos ceros no triviales) se concentran en la banda 0 < Re (s) < 1. Además se sabe que existen infinitos ceros cuya parte real vale 1/2. El problema del milenio que buscan resolver los matemáticos es demostrar que, de hecho, no hay ningún cero no trivial cuya parte real valga algo distinto de 1/2, o equivalentemente, la parte real de todos los ceros no triviales de la función Zeta de Riemann es 1/2. Esto no es una tarea fácil y es un resultado del que se deducen muchos otros. Demostrar que existe algún número complejo con parte real distinta de 1/2 que anula la función Zeta de Riemann resolvería la Hipótesis, pero de forma negativa, lo que supondría una conmoción en el mundo matemático pues muchas áreas de estudio se han seguido desarrollando suponiendo que la Hipótesis es cierta. Si estás interesad@, te animo a intentar demostrarla. Hay 1 millón de dólares en juego! 😅😅
Relación con los números primos
Llegados a este punto es normal preguntarse qué relación tiene una función de esta forma con la distribución de los números primos, aparentemente aleatoria. Recordemos que un número primo es aquel cuyos únicos divisores son el 1 y él mismo. También conviene recordar que cada número tiene una descomposición única en números primos. Por ejemplo:
4 = 2·2
10 = 5·2
18 = 3·3·2
Visto esto lo que vamos a hacer es deducir la fórmula del producto de Euler. Vamos a ello!
Vamos a partir de un número primo p arbitrario y vamos a calcular lo siguiente:
Entonces lo que vamos a hacer es multiplicar por todos los primos y vamos a tener lo siguiente:
donde la suma de la derecha se obtiene de hacer los productos
es decir, de realizar todas las posibles combinaciones con los primos y sus potencias, o lo que es lo mismo, todos los número naturales. Así, hemos demostrado la fórmula del producto de Euler que tiene la siguiente expresión:
Espero que te haya gustado esta entrada! Sígueme y déjame en comentarios que te ha parecido :)))
Hasta la próxima!
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